المعادلات التكاملية وطرق حلها

فإن المعادلات التكاملية تلعب دورا مهما في حل كثير من المسائل الفيزيائية والكيميائية التي يمكن الحصول عليه في شكل علاقات طيفية، كما تلعب المعادلات التكاملية دورا هاما في حل كثير من مسائل الاتصال في علم المرونة والرياضيات الهندسية والرياضيات بمختلف فروعها ، وكذلك في العلوم البيولوجية والهندسة الوراثية.
وقد تعددت طرق الحل لهذه المعادلات ، سواء كان الحل تحليلية أم عددية. وعندما فشلت الحلول التحليلية في حل المعادلات التكاملية لعبت الطرق العددية دورة بارزة ومهما في إيجاد حلول تقريبية للمعادلات التكاملية بمختلف أنواعها.
ولأن المكتبات العربية تخلو فيما ظهر لي من مراجع باللغة العربية للمعادلات التكاملية باللغة العربية. فقد رأيت من الواجب الإسهام بإعداد مؤلف في هذا المجال باللغة العربية ليسد الفراغ في هذا الحقل ، راجية أن يتيسر لي إعداد سلسلة من كتب المعادلات التكاملية يكون بدايتها هذا الكتاب الذي يوضح المبادئ الأساسية لطرق حل المعادلات التكاملية.
وقد عنى هذا الكتاب بدراسة المعادلات التكاملية من حيث النوع و النواة ، وطرق الحل المناسبة لها، ويتكون من ستة أبواب هي ما يلي :

. الباب الأول: تم فيه ذكر بعض الخصائص الأساسية عن
المختلفة ، كما تم تصنيف المعادلة التكاملية من حيث النوع وال بعض أنواعها. و تم أيضا استنباط معادلة فولتيرا التكاملية من المعادلة الخطية ذات الشروط الابتدائية، و معادلة فردهولم التكاملية . التفاضلية ذات الشروط الحدية.

• الباب الثاني: تم تحت شروط معينه إثبات وجود و وحداوية الحل لمعادلة مختلفة
فردهولم التكاملية. وتم أيضا دراسة خواص المؤثر التكاملي و راسم التقل الذات المعادلة التكاملية. أيضا تم في هذا الباب مناقشة الطرق التحليلية لحل معادلة فردهولم التكاملية مثل طريقة التعويضات المتتالية ، طريقة التقريبات المتتالية ، معادلة فردهولم التكاملية ذات النواة القابلة للفصل ، وطريقة توليد النواة ، وذكر أمثلة على كل طريقة.

• الباب الثالث: تم فيه مناقشة معادلة فولتيرا التكاملية مع ذكر تصنيفها من
حيث الشكل والنواة. كما تم إثبات وجود و وحداوية الحل للمعادلة تحت شروط معينة. أيضا تم في هذا الباب مناقشة الطرق التحليلية لحل معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني ذات نواة متصلة كطريقة النواة المتحللة ، و طريقة التقريبات المتتالية، و معادلة آبل التكاملية ، وذكر أمثلة على هذه الطرق.

الباب الرابع: خصص هذا الباب لدراسة كيفية استخدام محولات التكامل مثل محول فورير ، محول لابلاس ، و محول هيلبرت في كيفية حل المعادلات التكاملية، وتم أيضا إعطاء بعض الأمثلة و التطبيقات الاستخدام هذه المحولات.

الباب الخامس: تم فيه دراسة الطرق العددية لحل المعادلات التكاملية ذات الأنوية المتصلة كطريقة قاعدة شبه المنحرف ، طريقة قاعدة الثلث لسمبسون ، وطريقة رونج-کوتا . كما تمت مناقشة طرق المساقط العمودية ، و استخدامها حل المعادلات التكاملية كطريقة التجميع و طريقة جالركين و ذكر أمثلة عليها.

• الباب السادس: تم فيه دراسة المعادلات التكاملية ذات الأنوية الشاذة ، وذكر بعض طرق حلها باستخدام طريقة المصفوفات المتراصة وطريقة ضرب نيستروم بالإضافة إلى حل مثال على هاتين الطريقتين .

وقد وضع في نهاية كل باب مجموعة من التمارين غير المحلولة ليتدرب عليها الدارس.